簡易流行病學與生物統計學 七十二、平均數、變異數、標準差、觀測值或觀察值、不偏估計或最佳估計、樣本統計值、母群體母數

簡易流行病學與生物統計學

七十二、平均數、變異數、標準差、觀測值或觀察值、不偏估計或最佳估計、樣本統計值、母群體母數

作者：吳聰賢醫師

  統計學分成二個部分，敘述統計學、或稱描述統計學（descriptive statistics），及推論統計學（inferential statistics），兩者所佔部分不成比例，敘述統計學有如一塊墊腳石，讓人跨過門檻進入深奧的推論統計學殿堂。一堆數字出現，敘述統計學會描述這些數字的一些特性，如算數平均數（arithmetic mean，簡稱平均數mean）、中位數（median）、眾數（mode）、平均差（mean deviation）、變異數（variance）、標準差（standard deviation，SD）、變異係數（coefficient of variance，CV）等，我個人認為平均差、變異數、標準差此三者最為基礎，一些千奇百怪、極端複雜、令人吐血的推論統計學，跑不了此三者；以上名詞的定義、和計算公式，請詳見一般教科書。

  數字的敘述可分兩方面，一是數字的集中趨勢、或稱趨中性、中央趨勢（central tendency），另一為數字的離散趨勢（dispersive tendency）、或稱變異性（variability），變異數屬描述變異性的一種；相關性分析（correlation analysis）、單因子變異數分析（one-way，analysis of variance，ANOVA）、雙因子變異數分析（two-way，ANOVA）、多因子變異數分析（multiple-way，ANOVA）、單因子多變量變異數分析（one-way，multivariate analysis of variance，MANOVA）、雙因子多變量變異數分析（two-way， MANOVA）、多因子多變量變異數分析（multiple-way， MANOVA）均由變異數的運算演化而來，楊志良教授說，近一、二十年統計學係針對變異數的探討為主要的發展方向。統計學家、或數學家利用概算、推估，把變異數耍出無窮盡的把戲，莘莘學子真可憐，在後猛追趕，嘔心瀝血死而後矣，最後不得不屈膝投降，把統計學家捧為圭臬。

  假設彰化縣衛生局防疫課四位聘僱同仁，年齡分別20歲、30歲、40歲、和50歲，依照定義，求其平均數、變異數、和標準差：

  平均數 ＝ （20＋30＋40＋50）/ 4 ＝ 35

  變異數 ＝ 【（20－35）²＋（30－35）²＋（40－35）²＋（50－35）²】/ 4

         ＝ 【（－15）²＋（－5²）＋5²＋15² 】】/ 4

         ＝ 125

  標準差 ＝

  一堆數字只做敘述統計，所能獲得的知識只限那堆數字，學術研究的目的是從部分樣本（samples），來推論全部、或稱整體、亦稱母群體（population），我不會單想了解防疫課四位聘僱同仁的年齡分布，我也想由此推估彰化縣衛生局所有課室聘僱人員的年齡分布，更想推估台灣地區25個北、高、及各縣市衛生局所有聘僱人員的年齡分布。推論統計必提到的母群體種類，請看「彰化縣衛生所護理人員在職訓練第4講」

代表符號 母群體的數值     X（英文字母大寫） 樣本的觀察值      x （英文字母小寫） 母群體的數值個數  N （英文字母大寫）   樣本的觀察值個數  n （英文字母小寫） 母群體的平均數   μ（希臘字母小寫，英文為mu，唸成mju，非micro-） 樣本的平均數     （英文小寫，唸成 x bar） 母群體的變異數   σ2（希臘字母小寫，英文為sigma，唸成sigma square） 樣本的變異數      s2（英文小寫）     母群體的標準差   σ（希臘字母小寫，英文為sigma） 樣本的標準差      s（英文小寫）

當我把防疫課四位聘僱同仁當成一個母群體，則此四位人員的年齡計算如下：

變異數（σ²）＝Σ（母群體的數據－母群體的平均數）²/ 母群體的數字個數

＝Σ（X－μ）² / N 

             ＝ 【（20－35）²＋（30－35）²＋（40－35）²＋（50－35）²】/ 4

             ＝ 【（－15）²＋（－5²）＋5²＋15² 】 / 4

             ＝ 125

標準差（σ） ＝Σ（X－μ）² / N，然後開根號

             ＝ 

 為了推論其他母群體，我把防疫課四位聘僱同仁當成樣本，則此四位人員的年齡計算如下；此20歲、30歲、40歲、和50歲，術語稱為樣本的觀測值、或觀察值（observation）；如果此樣本是經由隨機抽樣（randomized sampling）獲得，不是隨意抽樣、或稱非機率抽樣（non-probability），其樣本統計值（statistic），如平均數、變異數、標準差等，稱為母群體母數（population parameter）的不偏估計（unbiased estimation）、或稱最佳估計。用樣本來估計母群體，一樣有抽樣誤差（sampling error），詳見「在職訓練第4講」，『不偏估計』過度誇張，腦筋易打結，應該譯為『較不偏估計』，或直接稱為『最佳估計』較合乎實際。

變異數（s²）＝Σ（樣本的觀察值－樣本的平均數）²/ 樣本的數字個數－1

＝Σ（x－）² / n－1

           ＝ 【（20－35）²＋（30－35）²＋（40－35）²＋（50－35）²】/ 4－1

           ＝ 【（－15）²＋（－5²）＋5²＋15² 】 / 4－1

           ＝ 166.667

標準差（s） ＝Σ（x－）² /（n－1），然後開根號

             ＝ 

樣本的變異數（s²）、和標準差（s）的算法不同於母群體者，其數字個數變成n－1，為什麼要減1？是那個人、或那個國家規定要減1？不減1可不可以？減0.5、或1.5、或2可不可以？統計學老師可能不容易回答，會說明減1的目的如下；統計學只是概算，雖有深厚理論基礎，接近臨界點的P值，不同的統計方法會有不同的解釋。

1.  樣本的變異數（s²）、和標準差（s）因分母（n－1）變小，所得結果變大，變異數和標準差變大（125變166.667，變），表示樣本離散趨勢也變大，在做推論統計判定是否達統計意義時，因P值會變大，比較不容易達顯著性差異，推論結果會趨保守。

當樣本數越小時，（n－1）對變異數和標準差計算結果影響越大，推論結果會越趨保守，當樣本數越大時，其影響越小，越容易達顯著性差異，所以研究者會發現，增加樣本數會使原本不達統計意義者轉變成達統計意義；當樣本數超過120以上，減1或不減1影響接近0，可以忽略。