簡易流行病學與生物統計學 七十三、共變數

簡易流行病學與生物統計學

七十三、共變數

作者：吳聰賢醫師

  共變數（covariance，cov，英文小寫）是兩個變項（variable）間共同改變的情形，依照其內涵，把『共變數』解讀為『共同改變的數』未嘗不可，但依照其計算的方式、和英文原意，共變數（covariance；con，拉丁文，英文together，中文一起的、共同的；variance變異數）應該譯為『共同的變異數』。為何兩個變項間共同改變的情形要用共變數來表示？『相關性』的探討除了共變數沒有更好的方法？

  變異數可分樣本統計值、和母群體母數兩種，變異數（s²）、和變異數（σ²），共變數是不是也有此兩種？理論上應該有，教科書有提到相關係數的樣本、和母群體的假設檢定，不過在共變數的代表符號上沒有特別去區分，應該是疏忽吧？

 變異數（s_X²）  ＝Σ（Xi樣本的數據－X樣本的平均數）²/ 樣本的數字個數－1

             ＝Σ（xi－）² / n－1

共變數（cov_XY）＝Σ（Xi樣本的數據－X樣本的平均數）（Yi樣本的數據－Y樣本的平均數）/樣本的數字個數－1

             ＝Σ【（xi－）（yi－）】/ n－1

【第一個例子】彰化市大竹區衛生所在預防注射時，隨機抽樣五位兩個月大的嬰兒（不分性別、或分男嬰、或分女嬰，某種樣本，將來就推論某種母群體；不分性別，將來就推論所有嬰兒；分男嬰，將來就限定推論男嬰；分女嬰，將來就限定推論女嬰）其體重分別5、3、6、4、7公斤，定為X變項，經過一年後，再重新測量體重，分別是10、8、11、9、12公斤，定為Y變項，請問兩個月、和一歲兩個月嬰兒體重有何『相關性』？是否兩個月體重較重、或較輕者，一歲兩個月時體重也較重、或較輕（正相關）？還是兩個月體重較重、或較輕者，一歲兩個月時體重反而較輕、或較重（負相關）？還是兩者沒有相關性（零相關）？

X變項平均數 ＝（5＋3＋6＋4＋7）/ 5 ＝ 5

Y變項平均數 ＝（10＋8＋11＋9＋12）/ 5 ＝10

XY變項共變數 ＝ 【（5－5）（10－10）＋（3－5）（8－10）＋（6－5）（11－10）＋（4－5）（9－10）＋（7－5）（12－10）】/ 5－1

              ＝（0＋4＋1＋1＋4）/ 4

              ＝ 2.5………….共變數為正的，屬正相關  

【第二個例子】彰化縣衛生局防疫課隨機抽樣五位同仁，民國88年考績成績分別為：80、82、77、76、80，定為X變項，民國89年考績成績分別為78、80、82、82、78，定為Y變項，請問88年考績、和89年考績有何『相關性』？是否88年考績較高、或較低者，89年考績也較高、或較低（正相關）？是否88年考績較高、或較低者，89年考績反而較低、或較高（負相關）？還是兩者沒有相關性（零相關）？

X變項平均數 ＝ （80＋82＋77＋76＋80）＝ 79

Y變項平均數 ＝ （78＋80＋82＋82＋78）＝ 80

XY變項共變數 ＝ 【（80-79）（78－80）＋（82－79）（80－80）＋（77－79）（82－80）＋（76－79）（82－80）＋（80－79）（78－80）】/ 5－1

              ＝ 【（－2）＋0＋（－4）＋（－6）＋（－2）】/ 4

              ＝ －3.5…………變數為負的，屬負相關

由上述兩個例子得知，所謂體重較重、或較輕，所謂考績成績較高、或較低，均與平均值做比較，『兩個月體重較重者，一歲兩個月時體重也較重』其涵義指『兩個月體重高於平均值者，一歲兩個月時體重也高於平均值』；『88年考績較高者，89年考績反而較低』其涵義指『88年考績高於平均值者，89年考績反而低於平均值』；注意！不單是個別平均值的比較，經過加總步驟，成為整體的平均值的比較。經由共變數公式逆推回去，相關性的探討稍微浮現出來，可為『相關性』補充一些概念。

其實這只是冰山一角，另有座標圖上直線相關（linear correlation）、和非直線相關（non-linear correlation）的思考模式，當兩個變項能畫出一條直線做相關分析，此稱為直線相關，如果能畫出一條曲折線、拋物線等非直線做相關分析，此稱為非直線相關，可能是多項式相關、指數相關、乘冪相關、對數相關、自然對數相關等，太複雜了，吐血算了。一般多採用直線相關，不會採用非直線相關，因為直線相關容易看出正負相關性、和相關性強弱。本來是兩個變項間的『相關』，為何扯上直線相關、非直線相關？好像跟迴歸模式撞在一起？救命啊！

以上為統計學的正確思考模式，我曾用最原始、也是最簡單的思考模式想過，誤以為是『相關性』，結果是錯的，敘述如下，相關性為何不能採用此種思考模式？沒有統計學上應用的價值，因為這只是整體Y變項比X變項增加多少、或是減少多少的問題，此種相關性不是彼相關性，差十萬八千里。我用這種錯誤的想法加強同仁對『相關性』的了解。

第一個例子：XY變項相關性 ＝【（10－5）＋（8－3）＋（11－6）＋（9－4）＋（12－7）】/ 5 ＝ 5

            Y變項平均比X變項增加5

第二個例子：XY變項相關性 ＝【（78－80）＋（80－82）＋（82－77）＋（82－76）＋（78－80）】/ 5 ＝ 1

            Y變項平均比X變項增加1