簡易流行病學與生物統計學
五十五、貝氏機率
作者：吳聰賢醫師
用貝氏定理（Bayes’ theorem）演算機率問題，其過程、結果稱為貝氏機率（Bayesian probability），上述「專科以上學歷的員工，屬於防疫課的機率是多少？」貝氏定理推演應極複雜，在疾病的篩檢例子上，貝氏定理推演較不複雜，不過仍然不懂？請來信、或e-mail指教；如果反向推回去，用國小算數計算，可發現公式是對的。
有病（D＋） 無病（D－）
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陽性檢驗（T＋）
陰性檢驗（T－）
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a b
c d
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a＋b
c＋d
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a＋c b＋d
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a＋b＋c＋d
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敏感度（sensitivity）＝
a /（a＋c）
精確度（specificity）＝
d /（b＋d）
假陰性率（false negative rate）＝ c /（a＋c）
假陽性率（false positive rate）＝ b /（b＋d）
陽性預測值（positive predictive value）＝ a /（a＋b）
陰性預測值（negative predictive value）＝ d /（c＋d）
盛行率（prevalence rate）＝（a＋ c）/（a＋ b＋ c＋d）
正確度（accuracy）＝ （a＋d）/（a＋b＋c＋d）
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P（T＋∣D＋）：有病者中，屬於陽性檢驗者
P（T－∣D－）：無病者中，屬於陰性檢驗者
P（T－∣D＋）：有病者中，屬於陰性檢驗者
P（T＋∣D－）：無病者中，屬於陽性檢驗者
P（D＋∣T＋）：陽性檢驗者中，屬於有病者
P（D－∣T－）：陰性檢驗者中，屬於無病者
P（D＋）：所有接受檢驗者，屬於有病者
P（D－∣T＋）：陽性檢驗者中，屬於無病者
P（D＋∣T－）：陰性檢驗者中，屬於有病者
P（D－）：所有接受檢驗者，屬於無病者
P（T＋）：所有接受檢驗者，屬於陽性檢驗者
P（T－）：所有接受檢驗者，屬於陰性檢驗者
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P（T＋∣D＋）＝ a /（a＋c）＝ 敏感度
P（T－∣D－）＝ d /（b＋d）＝ 精確度
P（T－∣D＋）＝ c /（a＋c）＝ 假陰性率
P（T＋∣D－）＝ b /（b＋d）＝ 假陽性率
P（D＋∣T＋）＝ a /（a＋b）＝ 陽性預測值
P（D－∣T－）＝ d /（c＋d）＝ 陰性預測值
P（D＋）＝ （a＋c）/（a＋b＋c＋d）＝ 盛行率
P（D－∣T＋）＝ b /（a＋b）＝ 1－ 陽性預測值
P（D＋∣T－）＝ c /（c＋d）＝ 1－ 陰性預測值
P（D－）＝ （b＋d）/（a＋b＋c＋d）＝ 1－ 盛行率
P（T＋）＝ （a＋b）/（a＋b＋c＋d）
P（T－）＝ （c＋d）/（a＋b＋c＋d）
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貝氏定理起初必須用到條件機率（conditional probability）之公式，這個公式勉強還可以理解，畫兩個有交集的圓圈圈，一個代表A，另一個代表B，交集的部分就是A∩B，這種圖形稱做凡氏圖（Venn diagram），由約翰˙凡（John Venn，1834-1923）所提出而沿用至今：
P（A∣B）＝P（A∩B）/P（B）
在2 ×2列聯表疾病的篩檢例子上，貝氏定理公式如下，後續的推演我已無法理解：
1. P（D＋∣T＋）＝ P（D＋∩T＋）/P（T＋）
＝ P（T＋∣D＋）P（D＋）/【P（T＋∣D＋）P（D＋）
＋P（T＋∣D－）P（D－） 】
因為： P（D＋∣T＋）＝ a /（a＋b）＝ 陽性預測值
P（T＋∣D＋）＝ a /（a＋c）＝ 敏感度
P（D＋）＝ （a＋c）/（a＋b＋c＋d）＝盛行率
P（T＋∣D－）＝ b /（b＋d）＝ 假陽性率
＝ 1－精確度
P（D－）＝ （b＋d）/（a＋b＋c＋d）＝ 1－盛行率
所以： 陽性預測值 ＝（敏感度 ×盛行率）÷
【（敏感度
×盛行率）＋（1－精確度）×（1－盛行率） 】
2. P（D－∣T－）＝ P（D－∩T－）/P（T－）
＝ P（T－∣D－）P（D－）/【P（T－∣D－）P（D－）
＋P（T－∣D＋）P（D＋） 】
因為： P（D－∣T－）＝ d /（c＋d）＝ 陰性預測值
P（T－∣D－）＝ d /（b＋d）＝ 精確度
P（D－）＝ （b＋d）/（a＋b＋c＋d）＝ 1－盛行率
P（T－∣D＋）＝ c /（a＋c）＝ 假陰性率
P（D＋）＝ （a＋c）/（a＋b＋c＋d）＝ 盛行率
所以： 陰性預測值 ＝【精確度 ×（1－盛行率）】÷
｛【精確度 ×（1－盛行率）】＋（假陰性率×盛行率）｝
我不知其公式如何推演，但從上面兩個貝氏定理公式可以看出規則性，模仿其公式，2 ×2列聯表共有八種組合，可以自創出另外6個貝氏定理公式，前面兩個是陽性預測值、和陰性預測值的公式算法，當實際運算其餘6個時，會發現完全沒意義，試舉敏感度的公式算法如下；為何沒意義，您知道嗎？
3. P（T＋∣D＋）＝ P（T＋∩D＋）/P（D＋）
＝ P（D＋∣T＋）P（T＋）/【P（D＋∣T＋）P（T＋）
＋P（D＋∣T－）P（T－） 】
因為： P（T＋∣D＋）＝ a /（a＋c）＝ 敏感度
P（D＋∣T＋）＝ a/（a＋b）＝ 陽性預測值
P（T＋）＝ （a＋b）/（a＋b＋c＋d）………..沒意義
P（D＋∣T－）＝ c /（c＋d）＝ 1－陰性預測值
P（T－）＝ （c＋d）/（a＋b＋c＋d）…………沒意義
所以： 敏感度 ＝【陽性預測值 ×（a＋b）/（a＋b＋c＋d）】÷
｛【陽性預測值 ×（a＋b）/（a＋b＋c＋d）】＋（1－陰性預測值）×（c＋d）/（a＋b＋c＋d）｝
陽性預測值、和陰性預測值只對臨床醫師面對病人時有用，已如前述，依照貝氏定理，陽性預測值、和陰性預測值可由敏感度、精確度、和盛行率三者計算出來，或許您會問：「用於疾病篩檢的2 ×2列聯表，依照其上數據很容易計算出陽性預測值、和陰性預測值，何必動用貝氏定理？」，對製造篩選試劑的藥廠而言，不可能為了某種疾病的盛行率，耗費大批試劑去做全面篩選，採用流行病學專家所調查的盛行率、或其他藥廠所提出的盛行率，可以節省大筆經費；既然不可能為了某種疾病的盛行率，耗費大批試劑去做全面篩選，所有陽性檢驗者的數據不可得，所以想用貝氏定理計算敏感度、精確度是無意義的－－沒有資料可用。
當某疾病盛行率非常低，相對地陽性預測值將非常小、陰性預測值將非常大，對臨床醫師沒有意義，已如前述，在此情況，您認為用貝氏定理計算陽性預測值、和陰性預測值有意義嗎？是否另有其他玄機？
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