簡易流行病學與生物統計學
五十四、貝氏定理
作者：吳聰賢醫師
貝氏定理（Bayes’
theorem）由湯瑪斯˙貝斯（Thomas Bayes）於1761年提出，利用集合論、與機率的理論法則推演出兩個定理，一稱為貝氏定理（Bayes’ theorem），另一稱為貝氏機率（Bayesian probability），前者見於楊玉隆所編『生物統計入門』P65，後者受教於中國醫藥學院環境醫學研究所梁文敏副教授，留美統計學博士，永遠面帶笑容、很有親和力的女老師，兩者區野不清楚，學有未逮。
楊玉隆醫師國立陽明大學醫學系畢業，美國哈佛大學公共衛生研究所碩士，台北市立忠孝醫院家庭醫學科總住院醫師，曾任台中市衛生局第三課長，青年才俊，年齡小我10餘歲，民國88年轉任彰化縣埔心鄉衛生所主任，民國89年初離職，目前於衛生所對面開業，有一年多共事之誼。民國90年3月8日(星期四)上午，趁到校參加『專題討論』之便，請教環醫所王昶弼同學，一語驚醒夢中人，其實貝氏定理（Bayes’
theorem）、貝氏機率（Bayesian probability）指相同的東西，貝氏定理只有一個。
貝氏定理：P（Bi∣A）＝ P（Bi）P（A∣Bi）/ ΣP（Bi）P（A∣Bi）
上述楊玉隆醫師貝氏定理有疏漏，更正如下：
貝氏定理：P（Bi∣A）＝ P（Bi）P（Ai∣Bi）/ ΣP（Bi）P（Ai∣Bi）
請小心！是P（Bi∣A），不是（Bi∣Ai）；是P（Bi）P（Ai∣Bi），不是P（Bi）P（A∣Bi）；是ΣP（Bi）P（Ai∣Bi），不是ΣP（Bi）P（A∣Bi）。
P（Bi）是什麼東西？i指1、2、3、4……至n的任何一個數，故Bi指B1、B2、B3、B4…..至Bn的任何一個BX，可以是B1、B2、B3、或B4。
ΣP（Bi）是什麼東西？Σ是加總符號，Σ此符號上面有『n』，下面有『i＝1』，此符號不知電腦如何打字？ΣP（Bi）P（Ai∣Bi）代表P（B1）×（A1∣B1）、和P（B2）×（A2∣B2）、和P（B3）×（A3∣B3）、和P（B4）×（A4∣B4）……至P（Bn）×（An∣Bn）的算數總和，
ΣP（Bi）P（Ai∣Bi）＝ P（B1）×（A1∣B1）＋P（B2）×（A2∣B2）＋P（B3）×（A3∣B3）＋P（B4）×（A4∣B4）……＋P（Bn）×（An∣Bn）
P（B）是什麼東西？表示『出現B的機率（probability
of B）』，例如投擲錢幣的實驗中，出現梅花的機率記為『P（梅花）』，出現人頭的機率記為『P（人頭）』，又如投骰子的實驗中，出現1的機率記為『P（1）』，出現2的機率記為『P（2）』，出現3的機率記為『P（3）』，依次類推。
P（梅花）＝
1 / 2
P（人頭）＝ 1 / 2
P（1）＝ 1 / 6
P（2）＝ 1 / 6
P（3）＝ 1 / 6
P（4）＝ 1 / 6
P（5）＝ 1 / 6
P（6）＝ 1 / 6
P（B∣A）是什麼東西？『∣』的意義表示『在某種情況下』，不知如何唸？P（B∣A）表示『在出現A的情況下，出現B的機率』；反過來P（A∣B）表示『在出現B的情況下，出現A的機率』。
想用集合論、與機率的理論法則推演貝氏定理，我保證您一定跟我一樣：放棄它，有誰能指導？如果舉實際的例子，反過來推回去，您將容易瞭解，也會發現國小的算數已足夠應付；假設彰化縣衛生局人事資料如下：
彰化縣衛生局員工總數100人
人數
|
所佔比率（機率）
|
專科以上
學歷人數
|
所佔比率（機率）
|
|
防疫課
企劃課
醫政課
藥政課
保健課
檢驗課
食品衛生課
總務室
人事室
會計室
政風室
（總數）
|
15
4
10
5
15
15
10
12
6
6
2
100
|
B1：0.15
B2：0.04
B3：0.10
B4：0.05
B5：0.15
B6：0.15
B7：0.10
B8：0.12
B9：0.06
B10：0.06
B11：0.02
1.00
|
12
2
8
5
12
12
7
6
3
3
2
72
|
A1：0.80
A2：0.50
A3：0.80
A4：1.00
A5：0.80
A6：0.80
A7：0.70
A8：0.50
A9：0.50
A10：0.50
A11：1.00
0.72
|
求某一專科以上學歷的員工，屬於防疫課的機率是多少？
用國小算數：
防疫課專科以上學歷的機率
＝ 0.15 ×0.80 ＝
0.12（或12÷100＝0.12）
企劃課專科以上學歷的機率
＝ 0.04 ×0.50 ＝
0.02
醫政課專科以上學歷的機率
＝ 0.10 ×0.80 ＝
0.08
藥政課專科以上學歷的機率
＝ 0.05 ×1.00 ＝
0.05
保健課專科以上學歷的機率
＝ 0.15 ×0.80 ＝
0.12
檢驗課專科以上學歷的機率
＝ 0.15 ×0.80 ＝
0.12
食品衛生課專科以上學歷的機率
＝ 0.10 ×0.70 ＝
0.07
總務室專科以上學歷的機率
＝ 0.12 ×0.50 ＝
0.06
人事室專科以上學歷的機率
＝ 0.06 ×0.50 ＝
0.03
會計室專科以上學歷的機率
＝ 0.06 ×0.50 ＝
0.03
政風室專科以上學歷的機率
＝ 0.02 ×1.00 ＝
0.02
各課室專科以上學歷的總機率 ＝ 0.12＋0.02＋0.08＋0.05＋0.12＋0.12＋0.07＋0.06＋0.03＋0.03＋0.02 ＝ 0.72（或72 ÷100 ＝ 0.72）
某專科以上學歷的員工，屬於防疫課的機率 ＝
0.12 ÷0.72 ＝ 0.166
用貝氏定理演算：
P（B1）P（A1∣B1）＝ 0.15 ×0.80 ＝ 0.12
ΣP（Bi）P（Ai∣Bi）＝0.15×0.80＋0.04×0.50＋0.10×0.80＋0.05×1.00＋0.15×0.80＋0.15×0.80＋0.10×0.70＋0.12×0.50＋0.06×0.50＋0.06×0.0.50＋0.02×1.00＝0.72
P（Bi∣A）＝ 0.12 ÷0.72 ＝ 0.166
0 意見:
張貼留言